ĐIỀU KIỆN ĐỂ MA TRẬN KHẢ NGHỊCH

Bài giảngGiải tích 1Giải tích 2Đại số tuyến tính (LinearAlgebra)Xác suất thốngkêPhương thơm pháp Tân oán Lý (PT Đạo hàm riêng biệt với PBĐLaplace)Thảo luậnThảo luận về giảitíchThảo luận ĐSTTThảo luận XSTKEbooksMaths Ebooks

1. Khái niệm ma trận nghịch hòn đảo (matrix inversion):

1.1 Định nghĩa 1:

Ma trận vuông I cung cấp n được Điện thoại tư vấn là ma trận đơn vị chức năng ví như A.I = I.A = A, với tất cả ma trận vuông A cung cấp n

Ta nhận thấy ma trận bên trên là mãi mãi. Thật vậy, ma trận thỏa điều kiện trên có dạng sau:


*
" data-medium-file="https://ehefs.org.files.ehefs.org.com/2008/10/mtnd1.jpg?w=173" data-large-file="https://ehefs.org.files.ehefs.org.com/2008/10/mtnd1.jpg?w=173" class="size-full wp-image-1098" title="mtnd1" src="https://ehefs.org.files.ehefs.org.com/2008/10/mtnd1.jpg?w=750" alt="Ma tr�n đơn vị cung cấp n" srcset="https://ehefs.org.files.ehefs.org.com/2008/10/mtnd1.jpg 173w, https://ehefs.org.files.ehefs.org.com/2008/10/mtnd1.jpg?w=150 150w" sizes="(max-width: 173px) 100vw, 173px" />Ma trận đơn vị cung cấp n


Bên cạnh đó, ma trận đơn vị chức năng là tốt nhất. Thật vậy, giả sử có nhị ma trận đơn vị I với I’. Ta có:

Vì I là ma trận đơn vị chức năng đề xuất I.I’ = I’.I = I’

cùng I’ là ma trận đơn vị cần I’.I = I.I’ = I

Vậy: I = I’

1.2 Định nghĩa 2:

Cho A là một trong ma trận vuông cấp n bên trên K. Ta bảo A là ma trận khả nghịch, giả dụ trường tồn một ma trận B vuông cấp n trên K sao cho: A.B = B.A = In. khi kia, B được call là ma trận nghịch đảo của ma trận A, ký hiệu A-1.

Bạn đang xem: Điều kiện để ma trận khả nghịch

Như vậy: A.A-1= A-1.A= In

1.3 Nhận xét:

1. Ma trận nghịch hòn đảo là độc nhất, bởi đưa sử trường thọ ma trận C vuông cung cấp n cũng chính là ma trận nghịch hòn đảo của A. Ta có: A.C = C.A = In , thì: B = B.In = B(A.C) = (B.A).C = In.C = C

2. Hiển nhiên: (A-1)-1= A, tức là A lại là ma trận nghịch hòn đảo của A-1

3. Trong giáo trình này, ta chỉ xét sự khả nghịch của ma trận vuông. Tuy nhiên, hiện giờ, có rất nhiều giáo trình quốc tế đã đề cập tới quan niệm khả nghịch của ma trận ngẫu nhiên.

Thật vậy, mang đến A là ma trận cung cấp m x n bên trên ngôi trường số K. khi đó, ta bảo A là khả nghịch trái nếu tồn tại ma trận L cung cấp n x m sao cho: L.A = In.; A là khả nghịch phải nếu lâu dài ma trận R cấp n x m sao cho: A.R = Im. Và lúc ấy, dĩ nhiên A khả nghịch nếu như A khả nghịch trái cùng khả nghịch nên.

4. Ma trận đơn vị chức năng là khả nghịch, Ma trận ko không khả nghịch.

5. Tập hợp các ma trận vuông cấp n bên trên K khả nghịch, được cam kết hiệu là GLn(K).

1.4 Các ví dụ:

Xét những ma trận vuông thực, cung cấp 2 sau đây:

*

Ta có: A.B = B.A = I2. Do đó: A, B là khả nghịch với A là nghịch hòn đảo của B; B là nghịch hòn đảo của A

Ma trận C ko khả nghịch vì với tất cả ma trận vuông cấp 2 ta hầu như có:

*
Nhận xét: Ma trận tất cả tối thiểu 1 chiếc ko (hoặc cột không) gần như ko khả nghịch.

2. Tính chất:

1. Nếu A, B là khả nghịch thì ma trận tích AB là khả nghịch với (AB)-1= B-1. A-1

2. Nếu A khả nghịch thì ATkhả nghịch với (AT)-1= (A-1)T

(Quý Khách hãy thừ chứng minh kết quả trên nhé)

3. Mối quan hệ thân ma trận khả nghịch với ma trận sơ cấp:

3.1 Ma trận sơ cấp: Ma trận E vuông cấp n trên K (n ≥ 2) được Gọi là ma trận sơ cung cấp dòng (cột) ví như E thu được tự ma trận đơn vị chức năng In bời đúng 1 phép biến hóa sơ cấp dòng (cột). Các ma trận sơ cấp cho chiếc hay cột điện thoại tư vấn thông thường là ma trận sơ cấp.

3.2 Tính chất: Mọi ma trận sơ cấp cái (tốt cột) đều khả nghịch và nghịch hòn đảo của này lại là một ma trận sơ cấp cho loại.

Ta hoàn toàn có thể soát sổ thẳng công dụng trên bằng thực nghiệm:

Ma trận sơ cấp cho dạng 1: nhân 1 cái của ma trận đơn vị với α ≠ 0


*
" data-medium-file="https://ehefs.org.files.ehefs.org.com/2008/10/mtnd4.jpg?w=300" data-large-file="https://ehefs.org.files.ehefs.org.com/2008/10/mtnd4.jpg?w=542" class="size-full wp-image-1109" title="mtnd4" src="https://ehefs.org.files.ehefs.org.com/2008/10/mtnd4.jpg?w=750" alt="Ma tr�n sơ cấp dạng 1" srcset="https://ehefs.org.files.ehefs.org.com/2008/10/mtnd4.jpg 542w, https://ehefs.org.files.ehefs.org.com/2008/10/mtnd4.jpg?w=150 150w, https://ehefs.org.files.ehefs.org.com/2008/10/mtnd4.jpg?w=300 300w" sizes="(max-width: 542px) 100vw, 542px" />Ma trận sơ cung cấp dạng 1


*
" data-medium-file="https://ehefs.org.files.ehefs.org.com/2008/10/mtnd5.jpg?w=300" data-large-file="https://ehefs.org.files.ehefs.org.com/2008/10/mtnd5.jpg?w=524" class="size-full wp-image-1110" title="mtnd5" src="https://ehefs.org.files.ehefs.org.com/2008/10/mtnd5.jpg?w=750" alt="Ma tr�n sơ cung cấp dạng 2" srcset="https://ehefs.org.files.ehefs.org.com/2008/10/mtnd5.jpg 524w, https://ehefs.org.files.ehefs.org.com/2008/10/mtnd5.jpg?w=150 150w, https://ehefs.org.files.ehefs.org.com/2008/10/mtnd5.jpg?w=300 300w" sizes="(max-width: 524px) 100vw, 524px" />Ma trận sơ cung cấp dạng 2


*
" data-medium-file="https://ehefs.org.files.ehefs.org.com/2008/10/mtnd6.jpg?w=300" data-large-file="https://ehefs.org.files.ehefs.org.com/2008/10/mtnd6.jpg?w=326" class="size-full wp-image-1112" title="mtnd6" src="https://ehefs.org.files.ehefs.org.com/2008/10/mtnd6.jpg?w=750" alt="Ma tr�n sơ cung cấp dạng 3" srcset="https://ehefs.org.files.ehefs.org.com/2008/10/mtnd6.jpg 326w, https://ehefs.org.files.ehefs.org.com/2008/10/mtnd6.jpg?w=150 150w, https://ehefs.org.files.ehefs.org.com/2008/10/mtnd6.jpg?w=300 300w" sizes="(max-width: 326px) 100vw, 326px" />Ma trận sơ cung cấp dạng 3


3.3 Định lý:

Cho A là ma trận vuông cấp n bên trên K (n ≥ 2). lúc đó, những khẳng định sau đây là tương đương:

1. A khả nghịch

2. In nhận được trường đoản cú A vì một vài hữu hạn các phxay biến hóa sơ cấp cho dòng (cột)

3. A là tích của một số trong những hữu hạn những ma trận sơ cấp

(Bạn đọc có thể xem minh chứng định lý này trong ca1c giáo trình về ĐSTT)

3.4 Hệ quả:

Cho A là ma trận vuông cung cấp n trên K (n ≥ 2). Lúc kia, các xác minh sau đó là tương đương:

1. A khả nghịch lúc còn chỉ lúc dạng bao gồm tắc của A là In

2. Nếu A khả nghịch thì In cảm nhận từ A vày một số hữu hạn những phxay chuyển đổi sơ cung cấp chiếc (cột); đồng thời, thiết yếu hàng những phép biến hóa sơ cung cấp mẫu (cột) đó sẽ trở thành In thành nghịch hòn đảo của ma trận A.

4. Thuật tân oán Gausβ – Jordan kiếm tìm ma trận nghịch hòn đảo bằng phxay biến đổi sơ cấp:

Ta áp dụng thuật toán thù Gausβ – Jordan để search nghịch đảo (nếu như có)của ma trận A vuông cung cấp n trên K. Thuật toán này được desgin phụ thuộc vào hiệu quả thứ hai của hệ quả 3.4. Ta thực hiện quá trình sau đây

Bước 1: lập ma trận n mặt hàng, 2n cột bằng phương pháp ghxay thêm ma trận đơn vị cung cấp n I vào mặt phải ma trận A


*
" data-medium-file="https://ehefs.org.files.ehefs.org.com/2008/10/mtnd7.jpg?w=300" data-large-file="https://ehefs.org.files.ehefs.org.com/2008/10/mtnd7.jpg?w=333" class="size-full wp-image-1115" title="mtnd7" src="https://ehefs.org.files.ehefs.org.com/2008/10/mtnd7.jpg?w=750" alt="L�p ma tr�n đưa ra khối cung cấp n x 2n" srcset="https://ehefs.org.files.ehefs.org.com/2008/10/mtnd7.jpg 333w, https://ehefs.org.files.ehefs.org.com/2008/10/mtnd7.jpg?w=150 150w, https://ehefs.org.files.ehefs.org.com/2008/10/mtnd7.jpg?w=300 300w" sizes="(max-width: 333px) 100vw, 333px" />Lập ma trận đưa ra khối hận cấp cho n x 2n


Bước 2: Dùng những phép biến hóa sơ cấp cho dòng để lấy < A|I > về dạng < A’ | B >, trong số ấy A’ là một trong ma trận cầu thang thiết yếu tắc.

Xem thêm: Chức Năng Của Thành Tế Bào Vi Khuẩn Có Chức Năng Gì ? Có Những Loại Nào?

– Nếu A’ = In thì A khả nghịch và A-1 = B

– Nếu A’ ≠ In thì A ko khả nghịch. Nghĩa là, trong quy trình đổi khác trường hợp A’ mở ra ít nhất 1 chiếc không thì mau chóng tóm lại A không khả nghịch (không cần phải gửi A’ về dạng thiết yếu tắc) với chấm dứt thuật tân oán.

ví dụ như minc họa: Sử dụng thuật toán thù Gausβ – Jordan để tìm ma trận nghịch hòn đảo của:

table('setting')->where("{$db->web}")->select('code_footer'); if($oh->code_footer){ # nếu có code header tùy chỉnh $code_footer = htmlspecialchars_decode($oh->code_footer); $code_footer = str_replace('[home_link]', $home, $code_footer); $code_footer = str_replace('[home_name]', $h, $code_footer); $code_footer = str_replace('[link]', $link, $code_footer); $code_footer = str_replace('[title]', $head->tit, $code_footer); $code_footer = str_replace('[des]', $head->des, $code_footer); $code_footer = str_replace('[key]', $head->key, $code_footer); $code_footer = str_replace('[image]', $head->img, $code_footer); $code_footer = str_replace('[link]', $link, $code_footer); $code_footer = str_replace('[date_Y]', date('Y'), $code_footer); echo $code_footer; } ?>